О нашей школе Обучение Полезные ссылки Контакты

Как научить ребенка доказывать теоремы по геометрии 7 класс


Как доказывать теоремы?

Как доказывать теоремы?

Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.

В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.

Доказательство теорем

Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.

Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.

Как доказывать теоремы по геометрии без труда

Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».

Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе Геометрия.

Какую аналогию использует репетитор по математике в обучении доказательствам. Геометрия 7 класс)

Как известно, доказательство любого утверждения в геометрии, как и вообще в математике, представляет из себя определенный набор логических переходов от одного факта (условия) к другому (заключению). Решение задачи можно сравнить с поиском тропинки, ведущей от начального математического объекта (равнобедренного треугольника, параллельных прямых или любого другого) к конечному (равенству углов, равенство отрезков, треугольников ...).

Может ли репетитор по математике развить в 7 классе у ученика способность создавать и описывать такие логические маршруты? Безусловно. Причем готовить почву для такого развития нужно с малых лет. В 5 классе в распоряжении репетитора имеются олимпиадные задачи. Их можно найти у меня на сайте. В 7 классе вместо олимпиадного материала репетитором используются типовые геометрические задачи на доказательство. И те и другие вызывают серьезные затруднения у рядового школьника и требуют акуратного и тонкого подхода к ним со стороны репетитора.

Главным препятствием на пути формирования логического аппарата у ученика 7 класса (при условии, что он хорошо знает содержание теорем) является существенное изменение (по сравнению с 5 — 6 классом) характера работы с математическими (в основном геометрическими) объектами. За время учебы в младшей школе школьник привыкает к тому, что все необходимое для решения задачи дается ему в условии. И все формулы всегда работают. Когда репетитор по математике в 7 классе впервые произносит слово «доказательство», то от прежнего постоянства мало что остается. Оказывается, что изучаемое не всегда можно использовать. Это обстоятельство оказывает влияние даже на бывших отличников, которые к середине 7 класса неожиданно для себя и родителей начинают приносить непривычно низкие оценки по геометрии.

Меняется стиль решения задач (теперь в них нужно постоянно что-то доказывать) и требования к их оформлению. Из-за того, что новые (виртуальные) формы лишены предметной привязки к реальным процессам (к измерениям и нахождениям) они труднее запоминаются. Ученик не может визуально соотнести (сравнить) происходящее в доказательстве с каким-нибудь близким и понятным действием или знакомым явлением. Отсюда и проблемы.

Многие репетиторы по математике строят разъяснительную работу исключительно на оформлении задач, объясняя логику действий записями. Однако далеко не всегда эти записи помогают пониманию геометрии как науки. Даже если репетитор использует систему классических сокращений (систему фраз, стрелок, знаков, объединяющих скобок и др.), методично повторяя их из урока в урок. К сожалению, математическая точность и лаконичности не всегда хватает для запуска «мозгового двигателя» ученика.

Мне доводилось сталкивался с ситуациями, когда в 7 классе репетитор по математике (по совместительству — школьный преподаватель) заставлял своего подопечного писать целые трактаты — сочинениями на тему «почему и отчего». Логику поиска маршрута решения ученик не видел и просто записывал в тетрадь под диктовку репетитора стандартные математические штампы и обороты. Писал и не только. Воспроизвести их в аналогичных ситуациях он не мог.

Большой объем записей при классическом оформлении мешает концентрироваться на построении самой сути доказательства — логической цепочки (дорожки, маршрута). Если репетитор по математике начинает расставлять ссылки на все используемые в доказательстве теоремы (или заполняет логические переходы формулировками теорем), то непременно мешают ученику выделить главную линию доказательства. Чтобы указать в оформлении факты, на которых основывается тот или иной логический вывод, репетитору приходится каждый раз их указывать. Это также мешает концентрироваться на главном, ибо значительно увеличивает объемы записей.

Длинное и путанное оформление доказательства получается даже при использовании классических сокращений. В результате репетитор по математике «теряет» ученика уже на втором-третьем выводе-переходе. Память и внимание в 7 классе работают крайне неустойчиво, поэтому преподавателю приходится постоянно возвращаться к одному и тому же. Это только вносит смуту в ход рассуждений.

Какую методику использует репетитор по математике для наилучшего восприятия техники доказательств? Важно значительно сократить количество записей. Это удается сделать только при работе с краткими схемами. Каждая такая схема составляется в процессе поиска доказательства и служит отличным средством для визуального контроля за происходящим. Она не является заменой оформлению и играет роль некой памятки или опорного черновика. Репетитор кладет ее перед глазами учащегося и заносит информацию обо всех основных этапах (узлах) доказательства. Что они из себя представляют и как в 7 классе можно заинтересовать доказательствами пойдет речь далее.

Как репетитор по математике снимает проблему понимания логики доказательства?

Одна из проблем, с которой постоянно сталкивается репетитор — неумение учеников искать решение, неумение думать. Для формирования навыка рассуждений с нуля, как мне кажется, нужны определенные организационные условия, построенные на сравнении доказательства с каким-нибудь простым и понятным реальным процессом. Если репетитор по математике этого не сделает, — возникнут сложности в объяснениях. Доказательство примет строгие математические формы, трудно воспринимаемые детьми. Возникнут проблемы с переключением внимания и, как следствие, увеличится вероятность обнуления «буфера» памяти. Репетиторы часто жалуются на это. В процесс размышлений над задачей ученики забывают о полученных ими же математических фактах. Докажут равенство углов и забудут про это. Или вообще забудут о том, что доказывает :).

Аналогия захвата города

Понимание доказательства требует полного визуального контроля за происходящим. Кроме этого нужна достаточно интересная и простая аналогия с реальностью. Что интересно ученику 7 класса? Он еще ребенок и, как правило, не вышедший из игрового возраста. Репетитор по математике просто обязан это использовать. Игровая форма деятельности в сочетании с точной аналогией дает великолепные результаты. Я сравниваю доказательство геометрического факта с проведением широкомасштабной военной операции (битвой, сражением, завоеванием), что составляет суть одной из самых популярных игр у подростков — игрой в стратегию.

Ставится цель — захватить вражеский город «В» (итог доказательства). Для этого у ученика имеются начальные ресурсы, сконцентрированные в городе «А» (это данные условия задачи). Математические факты (равенство углов, отрезков, наличия равнобедренного или прямоугольного треугольника и т.д.), используемые в ходе доказательства — условия для ведения боевых действий: военные базы, солдаты, оружие, танки, самолеты, ракеты, солярка, пули, снаряжение, противогазы и др. Изначально их недостаточно для завоевания «В». И нет дорог для продвижения воинских частей. Ее и нужно построить.

Известно, например, что имея танки, можно захватить город «С», который репетитор по математике ассоциирует с каким-либо логическим условием (ранее изученным математическим фактом). Пройденные ранее теоремы — дороги, ведущие от одного города к другому (этих городов между «А» и «В» — великое множество). Эти дороги построены, но попасть на них можно только проложив путь от города А.

Можно красиво описать ситуацию. Город «В» окружен лесом, болотом или иными трудно преодолимыми препятствиями, но к нему ведут дороги от других городов, через которые его можно захватить. О некоторых из них имеются данные разведки. Названия городов — это математические факты (равенство углов, треугольников, параллельность прямых, сумма односторонних углов, смежных углов и т.д.). Города могут быть соединены дорогой (если один из фактов является следствием другого), а могут быть и не соединены. Репетитор по математике предлагает ученику разработать план: построить маршрут от «А» к «В». Но как? Удар по «В» можно нанести из каких-то соседних городов (неких логических островков), которые нужно найти на карте. В самом деле, не можем же мы сразу ударить по городу «В» из штаба «А» (если это не ядерная война:)) ). Нарисуем (или представим себе) города, откуда ведут дороги к городу «В». Репетитор по математике намечает несколько пустых кружков вокруг будущего конца цепочки и просит ученика подумать о том, каким математическим содержанием их можно было бы заполнить. При определенной подготовительной работе репетитора над пониманием каждой теоремы в отдельности, ученик вполне способен перечислить имеющиеся варианты. Затем нужно подумать о том, захвачены ли эти островки (города) или нет. Возможно, в каком из них находятся части нашей армии или город напрямую соединен со штабом «А». (если дорога от «А» к «В» уже построена).

Если какой-то математический факт является следствием сразу нескольких условий (к городу ведут несколько дорог), то захватить его ресурсы можно только направив армейские подразделения сразу по всем таким дорогам (иначе генералы вражеской армии вместе необходимым нам для продолжения войны ресурсами (продовольствием, снарядами, танками и др) просто уйдут от нас одной из них.


Знакомство с правилами игры «захват города» происходит гораздо быстрее, чем это может показаться по описанию. Репетитору достаточно показать одну-две задачи и ребенок уже погружен в процесс. Глаза горят, интересно. Если репетитор по математике хочет научить своего подопечного классическому методу поиска необходимых условий (решению от конца к началу), — то лучше всего навести ученика на эту идею при последовательном обсуждении двух стратегий составления плана операции:

1) Можно начать с разработки завершающего удара. Для этого (как описывалось выше) нужно найти город для нанесения непосредственного удара по «В» (смотрим, что необходимо знать, чтобы доказать ...).
2) Тотальная стратегия боевых действий. Можно завоевывать все города подряд, начиная с «А». Репетитор по математике советует нарисовать как можно больше стрелок (дорог) от «А» к другим точкам на карте. Вторгаемся в какой-нибудь город и смотрим, пригодится ли он нам для дальнейшего или нет. Таким образом, репетитор по математике реализует формирование навыка поиска теорем, применимых в условии задачи вообще. Это крайне полезный навык. Если не удается понять, как подступится к доказываемому факту, нужно открыть (найти) хотя бы какой-нибудь дополнительный факт. Он может помочь в достижении цели.

Пример того, как подобную схему строит репетитор по математике — план завоевания города «В» (он выделен синим цветом):

Пример задачи по геометрии (7 класс): Рассмотрим типовую задачу по геометрии на доказательство параллельности двух прямых, взятую из материалов широко распространенного сборника «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса» авторов А.П. Ершова и В.В Голобородько. Вариант В1 из работы С10. Условие задачи и рисунок Вы видите слева.

Схема репетитора к задаче (методика захвата города):

Мы наносим удары по двум соседним городам и  — равнобедренный. Затем захватываем города с углами. Части нашей армии с двух сторон наносят удар по городу и, наконец, попадают в город .

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — Москва. Автор приема работы.

Как помочь ребенку освоить геометрию? ⋆ Citywoman

Геометрия очень важна для развития мыслительных способностей ребенка, она способствует полноценному осознанию окружающего мира. Этот раздел математики достаточно сложен для восприятия школьниками, потому что оперирует строгими утверждениями и закономерностями. Учебники, к сожалению, не всегда способны представить все в доступной и понятной для детей форме, поэтому ребенку необходима помощь в успешном изучении геометрии.

Геометрия и другие дисциплины

Помочь ребенку в изучении геометрии можно гораздо раньше, чем этот предмет появится в его школьной программе. Для понимания этой области науки необходимо развивать пространственное воображение, в этом поможет география, рисование, природоведение, труд, лепка, оригами, конструкторы. Обучение можно превратить в интересную и захватывающую игру, чтобы ребенок получал знания с удовольствием!

Что делать, если ребенок запустил учебу

Учиться нужно систематически, нельзя пропускать материал, который с первого раза кажется непонятным. Но если пробелы в обучении накопились, и геометрия совершенно не поддается школьнику, не стоит опускать руки — все поправимо!

  • Поговорите с ребенком, нужно разобраться в причинах плохой учебы. Не надо ругаться и давить на школьника, постарайтесь понять, что мешает ему в изучении геометрии. Возможно, у ребенка сложности с педагогом.
  • Если школьник утверждает, что предмет ему непонятен, узнайте, на каком этапе он это осознал. Стоит вернуться к тому разделу геометрии, который был слишком сложным для ребенка и начать изучать его заново, постепенно переходя к другим темам. Повторяйте пройденный материал вновь и вновь, пока в этом будет необходимость.
  • Начните заниматься с ребенком самостоятельно, повторите азы. Убедитесь, что ему понятны основные определения и термины, он правильно оценивает характеристики тел и фигур — это основа, без которой невозможно успешное изучение предмета.
  • Умение строить чертежи необходимо, именно они позволяют визуально представить условия любой задачи, увидеть фигуры наглядно. Приучите ребенка к обязательному использованию чертежей, они облегчат учебу.
  • Используйте аналогии. Детям иногда сложно разбираться в абстрактных взаимосвязях, поэтому можно экспериментировать — определяя гипотенузу треугольника, например, можно представить, что вы высчитываете точное расстояние от дома до дачи.
  • Уделяйте большое внимание практическим задачам, потому что простое заучивание теории — это бесполезное занятие, для хорошего понимания предмета этого катастрофически мало. Да, ребенку должна быть хорошо знакома аксиома параллельных прямых и основные определения, но ему также надо уметь доказывать теоремы и применять теоретические знания на практике.

Если ребенок ошибается, не ругайте его, а позвольте ему найти и исправить свои ошибки самостоятельно, при необходимости помогите и объясните непонятные моменты. Школьник должен научиться понимать, что и почему он делает неверно, это поможет быть более внимательным в будущем.

Профессиональная помощь

Помочь ребенку в освоении геометрии может репетитор. Безусловно, придется потратить время на поиск хорошего учителя и деньги, но в результате ребенок сможет лучше узнать геометрию и даже выйти за рамки школьной программы, избавиться от трудностей, которые мешают полноценно учиться в школе.

Если нет возможности нанимать репетитора, есть достойная альтернатива — видеоуроки, например, на сайте http://interneturok.ru/,  благодаря которым школьник сможет получить все те знания, которых ему не хватает. Видеоуроки, пожалуй, даже удобнее — заниматься можно в любое удобное время, при необходимости видео можно остановить или просмотреть заново. Ищите и используйте возможности для помощи ребенку в обучении!

Способы доказательства теорем и приемы решения геометрических задач

Аксиома есть очевидная истина, не требующая доказательства.

Теорема или предложение есть истина, требующая доказательства.

Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих данное предложение очевидным.

Доказательство достигает своей цели, когда при помощи его обнаруживается, что данное предложение есть необходимое следствие аксиом или какого-нибудь другого предложения, уже доказанного.

Всякое доказательство основано на том начале, что при правильном умозаключении из истинного предложения нельзя вывести ложного заключения.

Состав теоремы. Всякая теорема состоит из двух частей, a) условия и b) заключения или следствия.

Условие иногда называют предположением. Оно дано и поэтому иногда получает название данного.

Обратная теорема. Предложение, у которого заключение данной теоремы делается условием, а условие заключением, называется теоремой обратной данной.

В таком случае данная теорема называется прямой.

Две теоремы в совокупности, прямая и обратная, называются взаимно-обратными теоремами.

Они находятся в таком взаимном отношении, что, выбрав любую из них за прямую, можно другую принять за обратную.

В двух взаимно-обратных предложениях одно из них вытекает как необходимое следствие другого.

Если в теореме мы обозначим условие буквой, стоящей на первом месте, а заключение буквой, стоящей на втором месте, то прямую теорему можно схематически представить выражением (Aa), а обратную выражением (aA).

Выражение (Aa) схематически представляет предложение: если имеет место A, то имеет место a.

Если для данного предложения (Aa) имеет место и теорема (aA), то обе теоремы (Aa) и (aA) называются взаимно-обратными теоремами.

Примером двух таких взаимно-обратных теорем могут послужить теоремы:

Первая теорема. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

Вторая теорема. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данным условием будет равенство сторон треугольника, а заключением равенство противолежащих углов, а во второй наоборот.

Не всякая теорема имеет свою обратную.

Примером арифметического предложения, не имеющего своего обратного, может послужить следующая теорема. Если в двух произведениях множители равны, то и произведения равны.

Обратное предположение несправедливо. Действительно, из того, что произведения равны, не следует, что множители равны.

Примером геометрического предложения, для которого обратное предложение не имеет места, может послужить теорема: во всяком квадрате диагонали равны.

Предложение обратное этому будет: если диагонали четырехугольника равны, то он будет квадратом.

Это предположение неверно, ибо диагонали бывают равными не в одном квадрате.

Так как обратное предположение не всегда справедливо, то каждый раз обратное предложение требует особого доказательства.

В теории геометрических доказательств весьма важно иногда знать, когда данное предложение допускает свое обратное.

Для этой цели может послужить следующее правило обратимости. Когда в предположении всем возможным и различным условиям соответствуют все возможные и различные заключения, обратное предложение имеет место.

Рассмотрим для примера.

Прямое предложение. Если два треугольника имеют по две равные стороны, то третья сторона будет больше, равна или меньше третьей стороны другого треугольника, смотря по тому, будет ли угол между равными сторонами больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника.

В этом предложении трем различным и возможным предположениям об угле соответствуют три различных и возможных заключения о противолежащей стороне, поэтому, согласно с правилом обратимости, данная теорема допускает обратное предположение:

Когда два треугольника имеют по две равных стороны, угол между ними будет больше, равен или меньше соответствующего угла другого треугольника, смотря по тому, будет ли третья сторона больше, равна или меньше третьей стороны данного треугольника.

Кроме обратной прямая теорема может иметь свою противоположную.

Противоположная теорема есть такая, в которой из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Противоположная теорема может иметь свою обратную.

Чтобы обобщить все эти теоремы, мы их представим схематически в следующей общей форме:

  1. Прямая или основная теорема. Если имеет место условие или свойство A, то имеет место заключение или свойство B.

  2. Обратная. Если имеет место B, то имеет место A.

  3. Противоположная. Если не имеет места A, то не имеет места B.

  4. Обратная противоположной. Если не имеет места B, то не имеет места A.

Следующие примеры поясняют на частных случаях взаимное отношение этих теорем:

  1. Прямая теорема. Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

  2. Обратная теорема. Если две прямые параллельны, то при пересечении их третье, соответственные углы равны.

  3. Противоположная. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.

  4. Обратная противоположной. Если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

При геометрическом изложении теорем достаточно доказать только две из этих трех теорем, тогда остальные две теоремы справедливы без доказательства.

На этой связи теорем основан прием, по которому для доказательства обратной теоремы ограничиваются часто только доказательством теоремы противоположной.

Способы геометрических доказательств

Для доказательства геометрических теорем существует два основных способа: синтетический и аналитический.

Эти методы называют иногда сокращенно синтезом и анализом.

Синтез есть такой метод доказательства, в котором данное предложение является необходимым следствием другого, уже доказанного.

В синтезе цепь доказательств начинается с какого-нибудь известного предложения и оканчивается данным предложением. При доказательстве исходное предложение сопоставляется с аксиомой или с другим уже известным предложением. Синтетический способ удобен для вывода таких новых предложений, которые заранее не обозначены. Для доказательства же данного предложения он представляет много неудобств. В нем не видно: a) какую из известных теорем нужно выбрать для того, чтобы доказываемое предложение вытекало как ее необходимое следствие, и b) какое из следствий выбранного предложения приводит к доказываемому предложению.

Синтез называют поэтому не методом открытия новых истин, а методом их изложения.

Впрочем и при самом изложении теорем методом синтетическим является неудобство в том отношении, что не видно, почему за исходную истину в цепи доказательств выбрано то, а не другое предложение, то, а не другое его следствие.

Примером синтетического способа доказательства может послужить следующая теорема.

Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник ABC (черт. 224).

Требуется доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство. Проведем прямую DE параллельную AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно,

α + B + γ = 2d

Так как

α = A, γ = C

то, заменяя в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами, имеем:

A + B + C = 2d (ЧТД).

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, лежащих по одну сторону прямой.

Она поставлена в связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною.

Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Анализ есть способ обратный синтезу. В анализе цепь рассуждений начинается доказываемой теоремой и оканчивается какой-нибудь другой уже известной истиной.

Анализ является в двух видах. От доказываемого предложения мы можем перейти к предложению, служащему его ближайшим основанием или его ближайшим следствием.

Переходя от данного предложения к предложению, служащему его ближайшим основанием, мы смотрим на данное предложение как на необходимое следствие.

Переходя от данного предложения к его ближайшему следствию, мы смотрим на данное предложение как на основание для цепи умозаключений.

Первый способ анализа. Совершая анализ переходом к основанию, отыскивают то первое ближайшее предложение, из которого данное вытекает как необходимое следствие. Если это предложение было прежде доказано, то доказано и данное предложение, если же нет, то отыскивают второе предложение, служащее основанием для первого.

Такой переход к основанию следует продолжать до тех пор, пока не дойдем до предложения вполне доказанного. Данное предложение явится как необходимое следствие последнего доказанного предложения.

Обозначая каждое предложение буквой и ставя ее впереди или позади другой, смотря по тому, будет ли оно служить основанием или следствием другого предложения, мы схематически можем этот прием анализа выразить в виде

H — K — L — M

где M есть данное предложение, L его ближайшее основание, а H предложение, вполне доказанное. Если верно предложение H, то верно предложение K; если верно K, то верно L; если верно L, то верно и M.

Второй способ анализа состоит в переходе от данного предложения к его следствию. Этот прием применяют чаще, потому что легче находить необходимое следствие, нежели отыскивать основание какой-нибудь истины. По этому способу выводят из данного предложения ту теорему, которая служит его ближайшим следствием. Если это следствие есть предложение прежде доказанное, то на нем и останавливаются; если же нет, переходят к следующему ближайшему следствию и вообще продолжают такой последовательный вывод следствий до тех пор, пока не дойдут до предложения, вполне доказанного.

Если последнее предложение не верно, то и данное не верно, ибо неверное следствие нельзя получить из верного предложения.

Если же последнее предложение верно, то для убеждения в верности данного предложения требуется, чтобы были соблюдены некоторые условия.

Схематически этот прием анализа можно представить в виде

M — N — O — P — Q — R — S

где M данное предложение, N предложение, служащее его ближайшим следствием, а S то последнее предложение, в справедливости которого мы вполне убеждены.

Из двух предложений R и S, стоящих в такой связи, что если справедливо R, то справедливо и предложение S, мы, как известно, не всегда можем обратно заключать, что если справедливо S, то справедливо и предложение R.

Чтобы последнее заключение имело место, требуется, чтобы теоремы R и S были взаимно-обратными предложениями.

Итак, для того, чтобы убедиться, что теоремы R и S стоят в такой связи, что она удовлетворяет схеме R — S и схеме S — R, требуется доказать, что предложения R и S взаимно-обратны.

Таким образом, чтобы можно было по верности последнего предложения S заключить о верности данного предложения M, требуется доказать, что каждые два рядом стоящие предложения R и S, P и R, O и P, N и O, M и N удовлетворяют закону обратимости.

Если это доказано, то цепь предложений можно обратить, и рядом со схемой M — N — O — P — Q — R — S справедлива и схема

S — R — Q — P — O — N — M

по которой мы имеем право заключить, что если справедливо предложение S, то справедливо и предложение M.

Так как затруднительно всякий раз доказывать обратимость двух предложений, то этого избегают, соединяя способ аналитический с синтетическим. После того, как из предложения M выведено предложение S как его следствие, смотрят, нельзя ли обратно вывести предложение M как необходимое следствие предложения S.

Если синтез есть способ, называемый дедукцией или выводом, то анализ можно назвать редукцией (приведение, наводка).

Примером аналитического способа доказательства может послужить следующая теорема.

Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Доказательство. Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны (черт. 225). Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до предложения уже доказанного.

Сравнение синтеза с анализом. Способ аналитический вернее ведет к доказательству данной теоремы, ибо от данной теоремы легче переходить к его ближайшему основанию или следствию.

Хотя анализ лучше синтеза объясняет, почему выбран тот или другой путь для доказательства теоремы, однако неопределенность при доказательствах не устраняется вполне в том смысле, что при последовательных заменах одного предложения другим, мы не всегда можем дойти до предложения нам известного, ибо иногда не видно, какое из следствий или какое из оснований данного предложения нужно выбрать для того, чтобы его доказать. Затруднения увеличиваются еще больше, когда приходится для доказательства проводить новые вспомогательные прямые. Иногда трудно дать верные указания, какие из них облегчают доказательство данной теоремы.

Анализ, как и все логические приемы, только облегчает и помогает находить доказательство данного предложения, но не всегда необходимо ведет к самому доказательству.

Кроме этих прямых существует непрямой способ доказательства, известный под именем доказательства от противного или способа приведения к нелепости.

Способ доказательства от противного состоит в том, что для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

На этом основании это доказательство называется доказательством от противного. Оно достигает своей цели всякий раз, когда из двух предложений, данного и противоположного, одно непременно имеет место.

В этом случае для доказательства данного, допустив противоположное предложение, выводят из него такие следствия, которые противоречат аксиомам или теоремам, уже доказанным. Если одно из следствий этого предложения ложно, то и противоположное предложение ложно, а следовательно данное предложение справедливо.

Этот прием часто применяют для доказательства теорем обратных или противоположных данным.

Не трудно заметить, что этот способ есть второй способ анализа, в котором от данного предложения последовательно переходят к его следствиям.

Примером применения такого способа может послужить приведенное выше доказательство теоремы: против равных углов в треугольнике лежат равные стороны (теорема 26).

В геометрии также применяют способы, зависящие от самого содержания геометрических истин. Геометрические истины относятся к геометрическим протяжениям. Эти протяжения обладают определенными свойствами, подлежащим внешним чувствам. Геометрическое протяжение может рассматриваться как целое, доступное наблюдению внешними чувствами. Убедительности доказательства содействует и самое чувственное созерцание. Обойтись без него в геометрии невозможно.

К числу приемов, имеющих место в геометрии, принадлежат: способ наложения, способ пропорциональности и способ пределов.

Способ наложения состоит в том, что одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений, смотря по тому, совмещаются или не совмещаются ни при наложении.

Способ пропорциональности состоит в применении к геометрическим протяжениям свойств пропорций. Этот способ применяется при доказательстве теорем, относящихся к подобным фигурам и к пропорциональным отрезкам.

Способ пределов состоит в том, что вместо данных протяжений рассматривают свойства протяжений близких по своим свойствам к данному, и выводы, получаемые из рассмотрения одних, применяют к другим сходным протяжениям.

Способы решения геометрических задач

При решении геометрических задач синтез и анализ применяют точно так же как и при доказательстве теорем.

Решая задачу синтетически, берут такую другую задачу, которую умеют решить, потом из ее решения выводят решение следующей задачи, как ее необходимое следствие, и поступают так до тех пор, пока не доходят до решения данной задачи.

Синтетический метод решения задачи обладает всеми теми же недостатками, какими обладает и синтетический метод доказательства.

Поэтому чаще и успешнее для решения задач применяют анализ.

При решении задачи анализом заменяют данную задачу новой. Эту новую задачу будем называть заменяющей.

Если две задачи находятся в таком отношении, что условия второй есть необходимые следствия условий первой, то первую задачу будем называть начальной, а вторую — производной.

При анализе существуют два способа.

Первый способ. Заменяющую задачу выбирают так, чтобы условия данной задачи вытекали как необходимое следствие условий новой заменяющей задачи, т. е. по нашей терминологии от данной задачи переходят к первой начальной задаче. Если решение этой задачи известно, то решение данной является как необходимое следствие решения начальной задачи. Если же ее решение неизвестно, то от нее переходят ко второй, третьей начальной задаче и продолжают так поступать до тех пор, пока не получат задачу, решение которой известно.

Решив эту последнюю задачу, вместе с этим последовательно доходят и до решения данной задачи.

Второй способ. Можно переходить от данной задачи к такой другой, условия которой являются следствием условий данной, т. е. от данной задачи переходят к ее производной.

Заменяя таким образом последовательно одну задачу другой ее производной, мы можем дойти до задачи, решение которой уже известно. Решение этой задачи дает иногда возможность решить и данную задачу.

Такой переход от данной задачи к ее производной применяют чаще, ибо переходить к следствию легче, нежели подыскивать основание для какой-нибудь истины.

В этом частном случае анализа обыкновенно полагают, что задача решена, и из этого предположения выводят соотношения, дающие возможность решить данную задачу.

При переходе от данной задачи к ее заменяющей весьма важно обращать внимание на то, будут ли две задачи обладать свойством взаимной обратимости. Эта взаимность в условиях двух задач является тогда, когда одна задача, будучи начальной для другой, может быть в то же время и ее производной; иначе когда две задачи находятся в таком отношении, что условия одной могут быть и необходимыми следствиями другой и наоборот.

Если две задачи, данная и новая, обладают такими свойствами, то новая задача вполне заменяет данную. В этом случае все решения одной будут и решениями другой.

Если же условия двух задач не обладают свойствами взаимной обратимости, то, заменяя данную задачу новой, мы можем найти или лишние решения или иметь некоторые из решений потерянными.

Если заменяющая задача будет производной для данной, то мы можем найти некоторые лишние решения; если же она будет начальной для данной, то мы можем найти некоторые решения потерянными.

Так как чаще от данной задачи переходят к задаче производной, то чаще приходится получать решения лишние.

Чтобы отделить лишние решения и отыскать потерянные, поверяют все найденные решения.

Поверка есть способ отделения посторонних (лишних) решений. Она дополняет анализ.

Аналитическое решение задачи указывает на то построение, которое нужно сделать для решения задачи. Совершая это построение, поступают при решении задачи способом обратным анализу, т. е. прибегают к синтетическому способу. Этот синтетический способ часто может заменить и самую поверку найденных решений.

Совместное применение синтеза и анализа дает средство избегнуть тех ошибок, которые могут получиться при применении только одного из этих методов решения.

Решим одну и ту же задачу синтетически и аналитически. Для примера может послужить следующая задача.

Задача. Разделить данный отрезок AB в крайнем и среднем отношении.

Решение. Восставим из конца отрезка AB перпендикуляр BO равный половине AB (черт. 226). Из центра O опишем окружность радиусом BO, соединим центр O с точкой A и отложим на отрезке AB отрезок AC равный AD, тогда отрезок AC или AD будет искомый.

Доказательство. Прямая AB — касательная к окружности, следовательно

AE/AB = AB/AD

откуда имеем:

(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD

Так как DE = AB и AD = AC, то в предыдущей пропорции имеем:

AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC

откуда имеем пропорцию

AC/AB = BC/AC

Это решение синтетическое. В нем мы отправляемся от известной теоремы о свойствах касательной и решение данной задачи вытекало как необходимое следствие этой теоремы.

Решение аналитическое. Допустим, что задача решена, а следовательно и отрезок AC найден, тогда

AB/AC = AC/CB (1)

откуда

(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC

или

(AB + AC)/AB = AB/AC (2).

Из последней пропорции видно, что AB есть касательная, AB + AC пересекающаяся, AC ее внешний и AB внутренний отрезок.

Отсюда вытекает и само построение. Нужно из конца B восставить перпендикуляр равный ½AB, провести окружность, соединить O с A и отложить на отрезке AB часть AC = AD.

В этом аналитическом решении мы данную задачу, удовлетворяющую условию (1), заменяем задачей, удовлетворяющей условию (2).

Условие (2) указывает и путь для решения самой задачи построением.

Обыкновенно, найдя решение задачи способом аналитическим, совершают построение, в котором, применяя способ рассуждений синтетический, доказывают, что это построение действительно разрешает задачу и этим доказательством заменяют поверку, имеющую в виду устранить посторонние решения.

В данном примере между задачами, удовлетворяющим условиям (1) и (2), существует полная обратимость, ибо из условий (1) вытекают условия (2) как необходимое следствие и наоборот, поэтому здесь нет ни потерянных, ни посторонних решений.

Исследование второстепенных и вспомогательных приемов решения задач еще не достигло в своей обработке полной и совершенной законченности. Мы пока устраняемся от их подробного рассмотрения.

Статья (7 класс) на тему: как правильно готовиться к урокам по геометрии

Как правильно готовиться к урокам по геометрии.

Начался новый учебный год. В 7 классе появился в расписании новый предмет «геометрия», чем-то похожий на математику, но требования другие. Много теоретического материала, теорем, определений. Задачи необходимо теперь оформлять по-новому, а высказывания и теоремы необходимо доказывать. Каждый шаг в решении необходимо обосновывать. Предмет оказался труден для многих ребят, может быть даже не предмет, а переход к новым требованиям.

Сейчас я попробую дать несколько советов, как надо готовиться к урокам геометрии, чтобы было легко учиться и получить хороший результат.

Каждая новая тема начинается с теоретического материала. Прежде чем приступить к решению задач, необходимо прочитать параграф по теме. Выучить определения, теоремы, свойства и другие важные высказывания. Доказательство теорем так же необходимо прочесть несколько раз и попытаться самостоятельно выполнить доказательство. По началу, многие ученики учат доказательства наизусть. Думаю, что это правильно. Так  же, как и на уроках иностранного языка, ученики заучивают новые слова, новые выражения. Точно так же и геометрия требует тщательного подхода. Надо научиться новым терминам, новым выражениям, новой манере изложения решения задач. Без заучивания наизусть это не получится.

После изучения теоретического материала, можно приступить к задачам. Задача читается несколько раз. И именно потом мы начинаем записывать данные задачи.

Иногда для записывания данных помогает эскиз. Не чертёж, а именно эскиз. Небольшой схематичный рисунок на черновике или на полях. Ниже под данными, записываем что надо найти или доказать или построить в задаче. Записав данные задачи и осмыслив их, можно приступать к чертежу. Необходимо использовать хорошо заточенный карандаш, линейку, транспортир и циркуль. Чертёж нарисованный «от руки» не засчитывается. Если в задаче сказано про равные отрезки или углы, то на чертеже это надо отобразить. Хорошо нарисованный чертёж-это половина решения задачи.(для большей наглядности можно воспользоваться цветными ручками или карандашами).

Теперь поговорим о решении. Конечно, есть типовые задачи, которые решаются на уроке не раз, но есть и более сложные с хитрым вопросом и загадкой в условии. Постарайтесь вспомнить теоремы и свойства фигур, о которых идёт речь в условии. Попробуйте на чертеже выполнить дополнительные построения. Конкретного рецепта как решать задачи по геометрии не существует, но умение приходит с опытом. Чем больше задач решаете, тем проще и легче будет в следующий раз.

Каждый шаг, каждое действие желательно подкрепить объяснением по какой теореме или по какому свойству они сделаны. Необходимо в скобочках записывать объяснение своих выводов и рассуждений. Когда задача решена, надо обязательно записать ответ. Если нет ответа, то задача не засчитывается, даже если всё правильно выполнено в решении.

От всей души желаю успеха в постижении новой науки!

Поисковые геометрические задачи на доказательство | Учебно-методический материал по геометрии (7 класс):

Поисковые геометрические задачи на доказательство

В 7 классе начинают изучать новый предмет – геометрию и будут заниматься ею пять лет. На уроках математики школьники уже познакомились с самыми первыми геометрическими сведениями. Теперь они будут расширять, и углублять свои знания о геометрических фигурах. В процессе изучения геометрии будут доказывать теоремы, и решать задачи. При доказательстве теории будут  рассматривать пооперационный состав действий, т.е. первое действие, второе действие и т.д., после чего можно  будет проверить, с помощью правила вывода правильность действий. Рассмотрим задачи.

Задачи, направленные на контроль своих действий.

I тип задач:

Задание:  Восстановить последовательность решения задачи по имеющейся записи док-ва.

Задача: Отрезки АС и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что треугольники АВС и ЕВD равны.

Дано: АВ = ВЕ

                DВ = ВС

Доказать: Δ АВС = Δ ЕВD

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.AB=BE

2.DB=BC

3. …

4. Δ ABC= Δ EBD

По усл.

    …

вертикальные

   …

                        

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    ч.т.д.

Задача: На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла – точки В и С такие, что

Дано:

                

Доказать: BD = CD

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. ΔADB=ΔADC

по усл.

общая

по 2 пр.

из п.4

                        ч.т.д.

Задача: На рисунке ВС = AD

Дано: BC = AD

                

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. BC = AD
  2. AC

4. Δ АВС = Δ СDА

по усл.

                ч.т.д.

 Задача: На рисунке

Дано:

                BO = AO

Доказать:

АС = ВD

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1.  ВО = ОА

по усл.

            по усл

             …

по 2 пр.

из п.4

            из п.4

                                ч.т.д.

Задача: На рисунке АВ = CD и BD = AC. Докажите, что

Дано: АВ = CD

        BD = AС

Доказать:

     

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. AB=CD
  2. AD
  3. AB=CD
  4. BC

            по усл

             …

по 3 пр.

            по усл

            по усл

            …

           по 3 пр.

           …

                                ч.т.д.

Задача: Треугольники АВС и АВС1 равнобедренны с общим основанием АВ. Докажите, что треугольники АСС1 и ВСС1 равны.

Дано: АС = СВ

        АС1 = С1В

Доказать: Δ АСС1 = Δ ВСС1

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. AC=CB
  2. CC1

            по усл

             …

            по 3 пр.

                                ч.т.д.

Задача: На рисунке АВ = CD, AD = BC, ВЕ – биссектриса угла АВС, а DF – биссектриса угла ADC, Докажите, что

Дано: АВ = CD

           AD = BC

               

               

Доказать:

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. AB=CD
  2. AC

...

            по усл

             …

по 3 пр.

            …

                                ч.т.д.

Задача: На рисунке треугольник АDE – равнобедренный, DE – основание. Докажите, что если BD = CE, то

Дано: AD = AE

                 BD = CE

Доказать:

                   AB = AC

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. BD=CE

по усл.

            …

             …

по 1 пр.

из п.4

            из п.4

                                ч.т.д.

Задача: На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что

Дано: АВ = АС

                ВХ = ХС

                

Доказать: BQ = СР

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. BX=XC
  2. PB=QC
  3. CP=BQ

по усл.

            по усл

             …

по 2 пр.

            общая

            …

            по 1 пр.

            …

                                ч.т.д.

II тип задач:

Задание: Оценить решение, приведенное учителем с точки зрения полноты аргумента и упорядочить  шаги в доказательстве.

Задача: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и СD к прямой а равны. Докажите, что Δ АВD = Δ CDB.

Дано: АВ = DC

                

Доказать: Δ АВD = Δ CDB

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. ΔABD= ΔCDB(4)
  2. AB=DC (1)
  3.  (2)
  4. BD (3)

по 1 пр.

            по усл

            по усл

            общая

                                        ч.т.д.

Задача: Отрезки АВ и СD пересекаются в середине О отрезка АВ,

Дано: АО = ОВ

                

Доказать: Δ СВО = ΔDАО

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. Δ CBO= Δ DAO
  2. AO=OB (1)

по 2 пр.

            вертикальные

            по усл

            по усл

                                        ч.т.д.

Задача:  Медиана АD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. Докажите, что ΔАВD = ΔECD.

Дано: AD = DE

                BD = DC

Доказать: ΔABD = ΔECD

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. Δ ABD=Δ  ECD
  2. AD=DE (1)
  3. BD=DC (2)

по 1 пр.

            вертикальные

            по усл

            по усл

                                        ч.т.д.

Задача: В треугольниках АВС и KMN, АВ = KM, АС = KN,

Дано: АВ = KM

АС = KN

АР = KS                

Доказать: ΔВРС = ΔMSN

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. ΔBPC=Δ MSN(8)
  2. ΔABC=ΔKMN(4)
  3. BC=MN (6)
  4. PB=SM (5)
  5. AB=KM (1)
  6. AC=KN (2)

по 1 пр.

            по 1 пр

из 2 п.

из 2 п.

            по усл

AB=KM,AP=KS

            по усл

            по усл

                                        ч.т.д.

Задача: Отрезки АС и ВD пересекаются в середине О отрезка АС,

Дано: АО = ОС

                

Доказать: ΔВОА = ΔDОС

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. ΔВОА = ΔDОС
  2. BO=OD (5)
  3. Δ AOD=Δ BOC
  4. AO=OC (1)

по 1 пр.

            вертикальные

Δ AOD=Δ BOC

по 2 пр.

 вертикальные

 по усл

по усл

                                        ч.т.д.

Задача: Отрезки АС и ВD пересекаются и точкой пересечения О делается пополам. Докажите, что ΔАВС = ΔСDА.

Дано: АО=ОС

                ВО=ОD

Доказать: ΔАВС = ΔСDА

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

  1. ΔАВС = ΔСDА
  2. AO=OC (1)
  3. ΔAOB=ΔDOC(4)
  4. AC (9)
  5. ΔAOD=ΔBOC(6)
  6. BC=AD (8)
  7. BO=OD (2)
  8. AB=DC (7)

по 3 пр.

вертикальные

по усл.

по 1 пр.

общая

по 1 пр.

из 4 и 6 п.

по усл.

пз 4 и 6 п.

вертикальные

                                        ч.т.д.

Задача: На рисунке треугольник АDЕ равнобедренный, DE – основание. Докажите, что если

Дано: АD = АЕ

                

Доказать: BD = CE

                      AB = AC

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.BD=CE (5)

2.AB=AC (6)

3.AD=AE (1)

4.ΔADB=ΔACE (4)

5.

6.

из 4п.

            из 4п.

            по усл

            по 2 пр.

           по усл.

ΔAED- равнобедренный

                                        ч.т.д.

Задача: На сторонах угла ХОУ отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, АС = ВD. Прямые АD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ – биссектриса угла ХОУ.

Дано: ОА = ОВ

                АС = BD

Доказать: ОЕ – биссектриса

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.OE (15)

2.OA=OB (1)

3.AC=BD (2)

4.OD=OC (3)

5. ΔAOD=ΔBOC(5)

6.BD=AC (6)

7.

8. ΔOED=ΔOEC (7)

9.ΔEBD=ΔEAC (9)

10.OD=OC (10)

11.OE (12)

12.

13.

14.

15.DE=EC (11)

биссектриса

по усл

по усл

из 2 и 3 п.

по 1пр.

по усл

общий

по 3 пр.

по 2 пр.

из 2 и 3 п.

общая

вертикальные

из 5 п.

из 13 п.

из 9 п.

                                ч.т.д.

III тип задач.

Задание: Поменяйте обозначение на чертеже, запишите условие и решите задачу.

Задача: На рисунке АВ = АС,

Дано: АВ = АС

                

Доказать: ΔАВD = ΔACD

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.AB=AC

2.

3.AD

4.  ΔАВD = ΔACD

по усл.

по усл.

общая

по 1пр.

                                ч.т.д.

Задача: На рисунке EF = ES,

Дано: EF = ES

                

Доказать: ΔEFQ = ΔESQ

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.EF=ES

2.

3.EQ

4.  ΔEFQ = ΔESQ

по усл.

по усл.

общая

по 1пр.

ч.т.д.

Задача: На рисунке ВС = AD, AB = CD. Докажите, что

Дано: ВС = AD

                AB = CD

Доказать:

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.BC=AD

2.AB=CD

3.AC

4.ΔАВC= ΔCDA

по усл.

по усл.

общая

по 3пр.

из п.4

                                        ч.т.д.

Задача: На рисунке MN = KP, KM = NP. Докажите, что

Дано: MN = KP

                KM = NP

Доказать:  

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.MN=KP

2.KM=NP

3.KN

4.ΔKMN= ΔNPK

5.

по усл.

по усл.

общая

по 3пр.

из п.4

ч.т.д.

Задача: По данным рисунка докажите, что ОР = ОТ,

Дано:  

                ВО = ОС

Доказать: ОР = ОТ

                     

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.

2.BO=OC

3.

4.ΔPBO= ΔTCO

5.OP=OT

6.

по усл.

по усл.

вертикальные

по 2пр.

из п.4

из п.4

                                        ч.т.д.

Задача: По данным рисунка докажите, что QE = QF,

Дано:

                DQ = QF

Доказать: QE = QF

                        

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.

2.DQ=QF

3.

4.ΔEDQ= ΔMFQ

5.QE=QF

6.

по усл.

по усл.

вертикальные

по 2пр.

из п.4

из п.4

                                        ч.т.д.

Задача: Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках M и N. Докажите, что треугольник AMN – равнобедренный.

Дано: АО – биссектриса.

MO ┴ AO

NO ┴ AO

Доказать: Δ AMN – равнобедренный.

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.

2.

3.AO

4.ΔAOM= ΔAON

5.AM=AN

6. Δ AMN

по усл.

по усл.

общая

по 2пр.

из п.4

равнобедренный

                                        ч.т.д.

Задача: Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла Е, пересекает стороны угла в точках К и Р. Докажите, что треугольник ЕКР – равнобедренный.

Дано: ЕМ – биссектриса.

                КМ ┴ ЕМ

                РМ ┴ ЕМ

Доказать: ΔЕКР – равнобедренный

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.

2.

3.EM

4.ΔEMK= ΔEMP

5.EK=EP

6. Δ EKP

по усл.

по усл.

общая

по 2пр.

из п.4

равнобедренный

ч.т.д.

Задача: Равнобедренные треугольники АDE и СBD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что

Дано: DA = AC

                DB = CB

Доказать:

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.DA=AC

2.DB=BC

3.AB

4.ΔADB= ΔACB

5.

по усл.

по усл.

общая

по 3пр.

из п.4

                                        ч.т.д.

Задача: равнобедренные треугольники DMK и КЕМ имеют общее основание МК. Прямая DE пересекает МК в точке S, Докажите, что

Дано: MD = DK

                ME = KE

Доказать:

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.MD=DK

2.ME=KE

3.DE

4.ΔDME= ΔDKE

5.

по усл.

по усл.

общая

по 3пр.

из п.4

                                        ч.т.д.

Задача: На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка E на отрезке AD, причем АС = AD и AB = AE. Докажите, что

Дано: АС = АD

                АВ = АЕ

Доказать:

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.AC=AD

2.AB=AE

3.

4.ΔAEC= ΔABD

5.EC=BD

6.

7.

  1. .ΔBOC=ΔEOD

по усл.

по усл.

общая

по 3пр.

из п.4

из п.4

вертикальные

по 2пр.

из п.8

                                ч.т.д.

Задача: На сторонах угла NDF отмечены точки M и К так, что точка М лежит на отрезке DN, а точка К на отрезке DF, причем DN = DF. Докажите, что

Дано: DN = DF

                DM = DK

Доказать:

Доказательство:

Утверждение

Обоснование

1.DN=DF

2.DM=DK

3.

4.ΔEKN= ΔEMF

5.KN=MF

6.

7.

8.ΔMSN=ΔKSF

9.

по усл.

по усл.

общая

по 3пр.

из п.4

из п.4

вертикальные

по 2пр.

из п.8

                        ч.т.д.

Таким образом, нами выделены три типа заданий, связанных с задачами на доказательство, которые по нашему мнению способствуют формированию контрольно-оценочным действиям учащихся в процессе решения задач на доказательство.

Как учить пропорции в 7-8 классах по математике

Вы здесь: Главная → Статьи → Обучение пропорциям и пропорциям

Часто ученики учатся решать пропорции, запоминая шаги, но они также забывают их в мгновение ока после окончания школы. Они могут слабо вспомнить кое-что о крестовом умножении, но это все, что нужно. Как мы, преподаватели, можем помочь им научиться решать пропорции и запоминать их?


Соотношения и пропорции НЕ являются выходом из математики

На самом деле это не так.Мы используем их постоянно, осознаем мы это или нет. Вы когда-нибудь говорили о скорости 55 миль в час? Или посчитайте, сколько времени нужно, чтобы куда-нибудь добраться с такой-то скоростью? Вы видели цены за единицу, такие как 1,22 доллара за фунт, 4 доллара за фут или 2,50 доллара за галлон. Вы когда-нибудь задумывались, сколько что-то стоит с учетом цены за единицу или какова ваша ежемесячная оплата с учетом почасовой оплаты? Вы использовали соотношения (или ставки) и пропорции.


Какие пропорции?

Следующие две задачи включают пропорцию:

  • Если 2 галлона бензина стоят 5 долларов.40, сколько будут стоить 5 галлонов?
  • Если автомобиль преодолевает определенное расстояние за 3 часа, какое расстояние он может проехать за 7 часов?

Общая идея этих задач состоит в том, что у нас есть две величины, которые обе изменяются с одинаковой скоростью . Например, в главной задаче у нас есть (1) бензин, измеренный в галлонах, и (2) деньги, измеренный в долларах. Мы знаем оба количества (и доллары, и галлоны) для в одной ситуации (2 галлона стоят 5,40 доллара), мы знаем ОДНО количество для другой ситуации ( либо долларов, или галлонов), и нам задают недостающее количество (в данном случае стоимость за 5 галлонов).

Вы можете составить таблицу для систематизации информации. Ниже длинная линия - означает «соответствует», а не вычитанию.

Пример 1:

 2 галлона —— 5,40 доллара 5 галлонов —— x долларов 

Пример 2:

 110 миль —— 3 часа x миль —— 4 часа 

В обоих примерах две величины изменяются с одинаковой скоростью. Обе ситуации включают четыре числа, из которых три даны, а одно неизвестно.Как мы можем решить такие проблемы?


Многочисленные способы решения пропорции

На самом деле есть несколько способов выяснить ответ на пропорции - все включают пропорциональное мышление .

  1. Если два галлона стоят 5,40 доллара, и меня спрашивают, сколько стоят 5 галлонов, поскольку количество галлонов увеличилось в 2,5 раза, я могу просто умножить доллары на 2,5.
  2. Если два галлона стоят 5,40 доллара, я сначала подсчитываю, сколько стоит 1 галлон, а затем умножаю это на пять, чтобы получить стоимость 5 галлонов.Теперь 1 галлон будет стоить 5,40 доллара США ÷ 2 = 2,70 доллара США, а затем 2,70 доллара США × 5 = 13,50 доллара США.
  3. Я могу написать пропорцию и решить ее путем перемножения:
    5,40

    2 галлона
    = x

    5 галлонов

    После перемножения я получаю:

    5,40 · 5 = 2 х

    x = 5,40 · 5

    2
    = 13,50 долларов США

  4. Я пишу пропорцию, как указано выше, но вместо перекрестного умножения я просто умножаю обе части уравнения на 5.
  5. Я записываю пропорцию таким образом: (и он по-прежнему работает, потому что вы можете записать два отношения для пропорции несколькими разными способами)
    5,40

    x
    = 2 галлона

    5 галлонов

Я хочу сказать, что для решения задач, подобных приведенной выше, вам не нужно помнить, как написать пропорцию или как ее решить - вы ВСЕГДА можете решить их, просто используя здравый смысл и калькулятор.

И студенты тоже должны это понимать. Дайте им понять основную идею настолько хорошо, чтобы они могли решать задачи пропорций без использования уравнения, если это необходимо. Тем не менее, я считаю, что вам также следует научить кросс-умножению, поскольку это очень необходимый «трюк» или сокращение при решении уравнений.

Одна основная идея, которая всегда работает для решения пропорций, состоит в том, чтобы сначала найти единицу измерения, а затем умножить ее, чтобы получить то, что просят. Например: если автомобиль проезжает 110 миль за 3 часа, как далеко он проедет за четыре часа

.

Онлайн-программа для 7-х классов | Time4Learning

Посмотреть демо наших уроков Переключить меню Зарегистрироваться Войти Поиск Поиск Time4Learning Поиск Time4Learning Войти / Зарегистрироваться Call Time4Learning ВойтиЗарегистрироватьсяКупить сейчас
  • Учебная программа
  • Субъекты
  • Обучение на дому
  • Ресурсы
  • Как это работает
  • Посмотреть демонстрации
  • Учебная программа по классам
  • Preschool curriculum nav icon Дошкольное
  • Elementary curriculum nav icon Элементарный
  • Middle School curriculum nav icon Средняя школа
  • High School curriculum nav icon Старшие классы средней школы
  • Объем и последовательность
  • Language Arts curriculum nav icon Языковые искусства
  • Math curriculum nav icon Математика
  • Science curriculum nav icon Наука
  • Social Studies curriculum nav icon Социальный S
.

Учебная программа по математике для 7-х классов | Time4Learning

Посмотреть демо наших уроков Переключить меню Зарегистрироваться Войти Поиск Поиск Time4Learning Поиск Time4Learning Войти / Зарегистрироваться Call Time4Learning ВойтиЗарегистрироватьсяКупить сейчас
  • Учебная программа
  • Субъекты
  • Обучение на дому
  • Ресурсы
  • Как это работает
  • Посмотреть демонстрации
  • Учебная программа по классам
  • Preschool curriculum nav icon Дошкольное
  • Elementary curriculum nav icon Элементарный
  • Middle School curriculum nav icon Средняя школа
  • High School curriculum nav icon Старшие классы средней школы
  • Объем и последовательность
  • Language Arts curriculum nav icon Языковые искусства
  • Math curriculum nav icon Математика
  • Science curriculum nav icon Наука
.

Онлайн-программа для PreK-12 классов

Посмотреть демо наших уроков Переключить меню Зарегистрироваться Войти Поиск Поиск Time4Learning Поиск Time4Learning Войти / Зарегистрироваться Call Time4Learning ВойтиЗарегистрироватьсяКупить сейчас
  • Учебная программа
  • Субъекты
  • Обучение на дому
  • Ресурсы
  • Как это работает
  • Посмотреть демонстрации
  • Учебная программа по классам
  • Preschool curriculum nav icon Дошкольное
  • Elementary curriculum nav icon Элементарный
  • Middle School curriculum nav icon Средняя школа
  • High School curriculum nav icon Старшие классы средней школы

Карта сайта, XML.